中考冲刺复习压轴（纯代(函)数）系列——与函数性质及最值相关问题
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【试题】已知函数y=（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m=﹣1，n=2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；
②分两种情况，根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；
③根据一次函数的性质即增减性结合自变量的取值范围解答即可；
（2）把m=﹣1，n=2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，再分不同情况求出k的值．
【解】（1）①答案为：m=﹣2，k≠0，n为任意实数；
此时函数解析式为：y=kx+n.
②当k＞0时，y随x的增大而增大，而当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，因此直线必经过(﹣2，0)、（1，3），则有：
解得所以所求的函数关系式为：y=x+2.
同理，当k＜0时，直线经过（﹣2，3）、（1，0），代入函数解析式，可求得：y=﹣x+1.
③当k＞0时，x=﹣2，y有最小值为﹣2k+n，x=3时，y有最大值为3k+n.
当k＜0时，x=﹣2，y有最大值为﹣2k+n；x=3时，y有最小值为3k+n.
（2）若m=﹣1，n=2时，二次函数为y=x2+kx+2，对称轴为x=﹣k/2.下面分三种情况说明：
当﹣k/2≤﹣2，即k≥4时，由“当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4”(此时对应的图象在对称轴右侧，y随x的增大而增大，)可得：当x=－2时，y=－4.把x=﹣2，y=﹣4代入解析式y=x2+kx+2得：k=5（符合题意）.
当﹣2＜﹣k/2＜2，即﹣4＜k＜4时，由于抛物线开口向上，此时对应的最小值，就是抛物线的顶点的纵坐标，所以可把x=﹣k/2，y=﹣4代入关系式得:
y=(﹣k/2)2+k×(﹣k/2)+2，
解得k=±2√6（不合题意，舍去.）
当﹣k/2≥2，即k≤﹣4时，由“当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4”(此时对应的图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，)可得：当x=2，y=﹣4代入解析式y=x2+kx+2得：k=﹣5（符合题意）．
综上所述，实数k的值为±5．
【反思】这是很基本又很重要的的函数概念与性质相关的试题，在自变量限制范围内时找最值时，需要熟练掌握函数的性质（增减性）与对称轴间的关系，才能顺利解题。
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